4.1.
Aplicar el algoritmo de
programación dinámica para el problema del cambio de monedas sobre el siguiente
ejemplo: n = 3, P = 9, c = (1, 3, 4).
¿Qué ocurre si multiplicamos P y c por un valor constante, por ejemplo
por 1.000.000? ¿Ocurre lo mismo con el algoritmo voraz? ¿Cómo se podría
solucionar?
4.2.
El número de combinaciones
de m objetos entre un conjunto de n, denotado por 
, para n ³ 1 y 0 £ m £ n, se puede definir recursivamente por:
, para n ³ 1 y 0 £ m £ n, se puede definir recursivamente por: = 1 Si
m = 0 ó m = n = 
+ 
Si 0 < m < n
Conociendo que el resultado puede ser calculado también con la
fórmula:
n!/(m!·(n-m)!)
a)
Dar una función recursiva
para calcular , usando la primera de las definiciones. ¿Cuál será el
orden de complejidad de este algoritmo? Sugerencia: la respuesta es inmediata.
b)
Diseñar un algoritmo de
programación dinámica para calcular . Nota: la tabla construida por el algoritmo es conocida como
“el triángulo de Pascal”. ¿Cuál será el tiempo de ejecución en este caso?
. Nota: la tabla construida por el algoritmo es conocida como
“el triángulo de Pascal”. ¿Cuál será el tiempo de ejecución en este caso?
4.3.
Una variante del problema
de la mochila es la siguiente. Tenemos un conjunto de enteros (positivos) A =
{a1, a2, ..., an} y un entero K. El objetivo
es encontrar si existe algún subconjunto de A cuya suma sea exactamente K.
a)
Desarrollar un algoritmo
para resolver este problema, utilizando programación dinámica. ¿Cuál es el
orden de complejidad del algoritmo?
b)
Mostrar cómo se puede
obtener el conjunto de objetos resultantes (en caso de existir solución) a
partir de las tablas utilizadas por el algoritmo.
c)
Aplicar el algoritmo sobre
el siguiente ejemplo A = {2, 3, 5, 2}, K= 7. ¿Cómo se puede comprobar que la
solución no es única?
4.4.
Considerar el problema del
cambio de monedas. Tenemos monedas de n
tipos distintos (cada uno con valor ci),
y queremos devolver una cantidad P.
Dar un algoritmo, con programación dinámica, para calcular el número de formas
diferentes de devolver la cantidad P
(independientemente del número de monedas que se use). ¿Cuál es el orden de
complejidad de este algoritmo?
Aplicar el algoritmo sobre el siguiente ejemplo: n= 4, c= {1, 3, 4, 7}, P= 7.
4.5.
En el problema del cambio
de monedas, en lugar de utilizar la ecuación de recurrencia:
Cambio (i, Q) = min
(Cambio(i-1, Q), Cambio(i, Q - ci)+1)
Decidimos usar la siguiente:
Cambio (i, Q) = mink=0,
..., ëQ/c[i]û { k + Cambio (i - 1, Q - k·c[i]) }
a)
¿Es correcta esta ecuación
de recurrencia para encontrar la solución? Explicar cuál es el significado de
esta fórmula.
b)
Suponiendo que modificamos
el algoritmo de programación dinámica para usar la segunda fórmula, mostrar el
resultado del algoritmo para el siguiente ejemplo: n= 4, c= {1, 3, 4}, P= 7.
c)
Estimar el orden de
complejidad del algoritmo. Compararlo con el algoritmo visto en clase.
4.6.
(TG 11.4) Resolver con
programación dinámica el problema del cambio de monedas, pero teniendo una
cantidad limitada de monedas. La cantidad a devolver es C, tenemos monedas de n
tipos (cuyos valores están dados en tipos: array[1,..,n] de entero),
y de cada tipo tenemos una cierta cantidad de monedas (almacenadas en un array cantidad:
array[1,..,n] de entero). Es decir, de la moneda de valor tipos[i] podemos dar una cantidad entre 0 y cantidad[i]. Sugerencia: observar la ecuación del
ejercicio anterior.
4.7.
Una agencia de turismo
realiza planificaciones de viajes aéreos. Para ir de una ciudad A a B puede ser
necesario coger varios vuelos distintos. El tiempo de un vuelo directo de I a J
será T[I, J] (que puede ser distinto de T[J, I]). Hay que tener en cuenta que
si cogemos un vuelo (de A a B) y después otro (de B a C) será necesario esperar
un tiempo de “escala” adicional en el aeropuerto (almacenado en E[A, B, C]).
a)
Diseñar una solución para
resolver este problema utilizando programación dinámica. Explicar cómo, a
partir de las tablas, se puede obtener el conjunto de vuelos necesarios para
hacer un viaje concreto.
b)
Mostrar la ejecución del
algoritmo sobre la siguiente matriz T, suponiendo que todos los E[A, B, C]
tienen valor 1. ¿Cuál es el orden de complejidad del algoritmo?
T[i, j]
|
A
|
B
|
C
|
D
|
|
A
|
-
|
2
|
1
|
3
|
|
B
|
7
|
-
|
9
|
2
|
|
C
|
2
|
2
|
-
|
1
|
|
D
|
3
|
4
|
8
|
-
|
4.8.
(TG 11.2) Supongamos una
serie de n trabajos denominados a, b,
c, ... y una tabla B[1..n, 1..n], en la que cada posición B[i, j] almacena el beneficio de
ejecutar el trabajo i y a
continuación el trabajo j. Se quiere
encontrar la sucesión de m trabajos
que dé un beneficio óptimo. No hay límite en el número de veces que se puede
ejecutar un trabajo concreto.
a)
Idear un algoritmo por
programación dinámica que resuelva el problema. Para ello, definir un
subproblema (que permita realizar la combinación de problemas pequeños para
resolver problemas grandes), especifica la ecuación de recurrencia para el
mismo (con sus casos base) y después describe las tablas necesarias y cómo son
rellenadas.
b)
Ejecutar el algoritmo
sobre la siguiente tabla, suponiendo que m= 5.
|
B[i, j]
|
a
|
b
|
c
|
|
A
|
2
|
2
|
5
|
|
B
|
4
|
1
|
3
|
|
C
|
3
|
2
|
2
|
c)
Estimar el tiempo de
ejecución del algoritmo. El tiempo estimado ¿es un orden exacto o una cota
superior del peor caso?
4.9.
En una cierta aplicación
del problema de la mochila 0/1, los pesos de los objetos están definidos como
valores reales. Por ejemplo, tenemos 5
objetos con pesos p = (3.32, 2.15,
2.17, 3.21, p/2) y beneficios b = (10.2,
9.2, 8.3, 9.1, 6.5) y capacidad de la mochila M = 7.7. ¿Qué problema ocurre al intentar aplicar el algoritmo de
programación dinámica? Intenta resolverlo de alguna forma y muestra el
resultado. ¿La solución encontrada es la óptima?
4.10.
(TG 11.3) Dada una tabla
de tamaño nxn de números naturales, se pretende resolver el problema de obtener
el camino de la casilla (1, 1) a la casilla (n, n) que minimice la suma de los
valores de las casillas por las que pasa. En cada casilla (i, j) habrán sólo
dos posibles movimientos: ir hacia abajo (i+1, j), o hacia la derecha (i, j+1).
a)
Resolver el problema
utilizando programación dinámica. Indica la ecuación de recurrencia usada, con
los casos base necesarios, las tablas para llegar a la solución óptima y para
recomponer el camino correspondiente a esa solución óptima.
b)
Mostrar la ejecución del
algoritmo sobre la siguiente entrada.
|
2
|
8
|
3
|
4
|
|
5
|
3
|
4
|
5
|
|
1
|
2
|
2
|
1
|
|
3
|
4
|
6
|
5
|
c)
Formular el principio de
optimalidad de Bellman sobre este problema y comprobar si se cumple.
4.11.
Los algoritmos de divide y
vencerás y los de programación dinámica se basan en la resolución de un
problema en base a subproblemas. Usando las mismas ecuaciones de recurrencia de
los problemas vistos en el tema de programación dinámica (cambio de monedas,
mochila 0/1 y algoritmo de Floyd), diseñar algoritmos que resuelvan esos
problemas pero con divide y vencerás. Compara la complejidad obtenida con los
dos tipos de algoritmos.
En los dos primeros casos, ¿por qué los
algoritmos no son comparables (al menos de forma directa) con los algoritmos
voraces correspondientes?
4.12.
En el algoritmo para el
cambio de monedas visto en clase, ¿es posible que al acabar de ejecutarse
obtengamos que D[n, P] = +¥?
En caso afirmativo, ¿qué indica esta situación? Muéstralo con un ejemplo. En
caso contrario, ¿por qué no es posible esa situación?
4.13.
(EX) Considerar el
siguiente problema: dado un conjunto de números enteros X = {x1, x2,
..., xn} y otro entero P, queremos encontrar si existe algún
subconjunto {y1, ..., yk} de X, tal que P = y1*y2*...*yk.
Resolver el problema utilizando
programación dinámica. No es necesario programar el algoritmo, habrá que dar
una ecuación recurrente para resolver el problema, con los casos base, indicar
cómo son las tablas que se deben utilizar y la forma de rellenarlas.
A partir de las tablas, mostrar cómo
podemos saber si existe tal conjunto o no, y en caso de existir cómo se puede
obtener el conjunto solución {y1, y2, ..., yk}.
Hacer una estimación del orden de
complejidad del algoritmo.
Ejecutar sobre el siguiente ejemplo:
X= {2, 4, 3, 9, 10}, P= 18.
Nota: tener en cuenta que el
problema no es de optimización, sino de encontrar si existe una solución o no.
4.14.
En el problema de la
mochila (igual que en el problema del cambio de monedas) puede existir en
general más de una solución óptima para unas entradas determinadas. ¿Cómo se
puede comprobar si una solución óptima es única o no, suponiendo que hemos
resuelto el problema utilizando programación dinámica? Dar un algoritmo para
que, a partir de las tablas resultantes del problema de la mochila, muestre
todas las soluciones óptimas existentes.
4.15.
Resolver el siguiente
problema usando programación dinámica. Dada una secuencia de enteros positivos
(a1, a2, a3, ..., an), encontrar la
subsecuencia creciente más larga de elementos no necesariamente consecutivos.
Es decir, encontrar una subsecuencia (ai1, ai2, ..., aik),
con (ai1 < ai2 < ...< aik) y (1 ≤ i1
< i2 < ... < ik ≤n). Por ejemplo, para la siguiente secuencia la
solución sería longitud 6 (formada por los números señalados en negrita): 3, 1, 3, 2, 3, 8, 4, 7, 5, 4, 6.
4.16.
(EX) Usando la fórmula
recursiva para el problema de la mochila 0/1 (vista en clase), escribe un
procedimiento que resuelva el problema pero con divide y vencerás. El cuerpo
del procedimiento debe ser:
Mochila(i:
entero; M: entero; b, p:
array[1..n] de entero): entero
Siendo:
i = Número de objetos a usar (desde 1
hasta i). M = Capacidad de la mochila.
b, p = Beneficio y peso de
los objetos. Valor devuelto =
Beneficio óptimo.
4.17.
(EX M02) Considera la
variante de los números de Fibonacci, que denominaremos “números de cuatrinacci”, definida a continuación.
El n-ésimo número de cuatrinacci es igual a 3 veces el número (n-1)-ésimo, más 2 veces el (n-2)-ésimo,
menos el n-ésimo número de cuatrinacci. El primer y el segundo números de
cuatrinacci valen 1 y 3, respectivamente. Se pide lo siguiente.
a)
Escribe tres posibles
implementaciones para el cálculo del n-ésimo número de cuatrinacci usando: un
método descendente de resolución de problemas (por ejemplo, un algoritmo de
divide y vencerás), un método ascendente (por ejemplo, de programación
dinámica), y un procedimiento que devuelva el resultado de forma directa,
mediante una simple operación aritmética. Ojo:
las implementaciones deben ser muy simples y cortas.
b)
Haz una estimación del
orden de complejidad de los tres algoritmos del apartado anterior. Compara los
órdenes de complejidad obtenidos, estableciendo una relación de orden entre los
mismos.
4.18.
(EX D02) Considerar que en el
problema de los ratones (ejercicio 7.21) todos los pasadizos requieren 1 unidad
de tiempo, es decir P[i, j] = 1 si
existe el pasadizo entre i y j. En este experimento se coloca sólo
un ratón, en una celda dada S, y
estamos interesados en calcular la probabilidad de que consiga salir del
laberinto en el tiempo máximo tmax.
En este caso, suponemos que
el ratón se mueve de forma completamente aleatoria por el laberinto y que en
cada instante de tiempo hace un movimiento, excepto si ya ha salido del
laberinto, en cuyo caso no volverá a entrar.
Por ejemplo, si en el
laberinto de abajo se coloca el ratón en la celda 1, en el instante siguiente
estará en la celda 2 con probabilidad 0.5 y en la celda 4 con probabilidad 0.5.
Por lo tanto, la probabilidad de que haya salido en el instante 2 será 0.
Resolver el problema
utilizando programación dinámica. Definir la ecuación recurrente, con sus casos
base, la estructura de tablas necesarias y escribir el algoritmo para resolver
el problema. Aplicarlo al ejemplo para tmax=
3 y S=1.
4.19.
Resolver el siguiente
problema con programación dinámica. Tenemos un conjunto de n objetos, cada uno con un peso p = (p1, p2, ..., pn). El objetivo es repartir
los objetos entres dos montones diferentes, de manera que queden lo más
equilibrados posible en peso. Esto es, se debe minimizar la diferencia entre
los pesos totales de ambos montones. Aplicar sobre el ejemplo con n= 4 y p= (2, 1, 3, 4).
4.20.
(EX M04) En el problema de
la mochila 0/1 disponemos de dos mochilas, con capacidades M1 y M2. El objetivo
es maximizar la suma de beneficios de los objetos transportados en ambas
mochilas, respetando las capacidades de cada una. Resolver el problema mediante
programación dinámica, definiendo la ecuación recurrente, las tablas usadas y
el algoritmo para rellenarlas.
Datos del problema: n objetos, M1 capacidad
de la mochila 1, M2 capacidad de la
mochila 2, p= (p1, p2,
..., pn) pesos de los
objetos, b= (b1, b2,
..., bn) beneficios de
los objetos.
4.21.
(EX S04) Considerar el
problema de la mochila 0/1. En este ejercicio estamos interesados en calcular
el número de formas distintas de meter o no los objetos en la mochila, pero
respetando la capacidad máxima de la mochila. Por ejemplo, si todos los n objetos cupieran en la mochila,
existirían 2n formas
posibles. Pero en general, si no caben todos, habrán muchas menos. Resolver
mediante programación dinámica el problema de calcular el número de formas
distintas de completar total o parcialmente la mochila. Datos del problema: n objetos, M capacidad de la mochila, p=
(p1, p2, ..., pn)
pesos de los objetos).
4.22.
(EX) Tenemos una secuencia
de palabras, sacadas del diccionario de la RAE, que denotaremos por p1, p2, ..., pM.
Queremos seleccionar subsecuencias de palabras, en el mismo orden pero no
necesariamente consecutivas, de manera que cada palabra sea un prefijo de la
siguiente. El objetivo es encontrar la subsecuencia más larga posible. Por
ejemplo, si p= (ca, p, d, pre,
casa, de, prenda, precio,
prendadora, decágono), la solución sería (p,
pre, prenda, prendadora).
Resolver el problema usando programación dinámica. Mostrar la ejecución sobre
el ejemplo anterior. Suponer que disponemos de una operación Prefijo(cad1, cad2) : bool, para conocer
si una palabra es prefijo de otra.
4.23.
(EX J05) Resolver el
problema del ejercicio 7.23 mediante programación dinámica, definiendo la
ecuación recurrente, con sus casos base, las tablas usadas y el algoritmo para
rellenarlas. No es necesario mostrar la ejecución del ejemplo.
4.24.
(EX J05) Nos vamos de compras al mercado. Tenemos K euros en el bolsillo y una lista de m productos que podemos comprar. Cada producto tiene un precio, pi (que será siempre un
número entero), y una utilidad, ui.
De cada producto podemos comprar como máximo 3 unidades. Además, tenemos una
oferta según la cual la segunda unidad nos cuesta 1 euro menos, y la tercera 2
euros menos. Queremos elegir los productos a comprar, maximizando la utilidad
de los productos comprados. Resolver el problema por programación dinámica,
indicando la ecuación recurrente, con sus casos base, las tablas, el algoritmo
para rellenarlas y la forma de componer la solución a partir de las tablas.
4.25.
(EX) En cierto teclado, asignamos las teclas especiales a cadenas de más
o menos tamaño, (por ejemplo: F1àabc, F2àca, F3àab, F4àbcc). Dada otra cadena más larga (por ejemplo:
abccabcabb) se quiere escribirla pulsando el menor número de teclas. Se pueden
usar las teclas normales o las especiales. Explicar cómo se resuelve el
problema por programación dinámica: hay que dar la fórmula de recursión, el
valor de los casos base, y las tablas que se usan en la solución del problema.
Explicar el funcionamiento con el ejemplo dado. Sugerencia: estudiar la descomposición recurrente de una función MinTeclas (i: entero): entero, que
devuelve el menor número de pulsaciones para escribir los i primeros caracteres de la cadena larga.
4.26.
(EX) Considerar que
tenemos un sistema monetario con monedas de tres tipos, con valores: 2, 3 y 4.
Queremos dar la cantidad 9, usando el menor número posible de monedas. Aplicar
el algoritmo de programación dinámica visto en clase sobre el ejemplo. Deducir
razonadamente la forma de la ecuación de recurrencia, con sus casos base.
Mostrar la tabla resultante para este caso concreto. A partir de ella, obtener
el número de monedas de cada tipo, explicando el proceso. ¿Cómo se puede saber
si la solución óptima es única?
4.27.
(EX) Suponer que en el
problema del corral del ejercicio 7.26 no se pueden partir los tablones.
Queremos resolver la cuestión de saber si es posible construir un corral de
forma cuadrada, con lados de longitud K.
Resolver el problema por programación dinámica. Dar la fórmula recursiva del
problema, con sus casos base, e indicar las tablas que usa el algoritmo. Sugerencia: dar una definición
recursiva para el problema Corral (m, p1, p2, p3, p4): booleano, que significa: “comprobar si se pueden construir cuatro paredes de
longitudes p1, p2, p3 y p4, pudiendo utilizar los m primeros tablones”.
4.28.
(EX J06) Resolver el
problema del juego de la oca del ejercicio 7.27 de forma óptima por
programación dinámica. Dar la fórmula recursiva del problema, con sus casos
base, e indicar las tablas que usa el algoritmo. Mostar la ejecución sobre el
ejemplo del ejercicio 7.27. A partir de las tablas, indicar para el ejemplo
cómo se obtiene la secuencia de movimientos óptima.
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